Karol Kłos jest związany z PGE Skrą od 2008 roku. Na początku swojej przygody został jednak wypożyczony do AZS Politechnika Warszawska, gdzie grał dwa lata. Do bełchatowskiego zespołu dołączył przed sezonem 2010/2011 i od tego czasu nieprzerwanie występuje w zespole z województwa łódzkiego.

W tym czasie zdobył m.in. siedem medali mistrzostw Polski, po dwa w Klubowych Mistrzostwach Świata i Lidze Mistrzów.

Kłos ma na swoim koncie także sukcesy w narodowych barwach. Wraz z kolegami zdobył m.in. tytuł mistrzów globu w 2014 roku. Zawodnik nie znalazł się jednak w gronie wybrańców Vitala Heynena na nadchodzące Igrzyska Olimpijskie w Tokio.