Pochodził ze Śląska, do Łodzi przyjechał w 1957 roku.Jako zawodnik spędził w ŁKS-ie tylko dwa lata, jego karierę przerwała bowiem poważna kontuzja, ale to właśnie wtedy drużyna zdobyła Puchar Polski i tytuł mistrza Polski w 1958 roku.- Grzywocz przyjął się w Łodzi znakomicie, od razu został liderem drużyny. Ówczesna prasa pisała o nim, że podaje kolegom z ataku dosłownie na centymetry. Z wielką dokładnością grał w pomocy, nie do niego należało strzelanie bramek, ale doskonale przygotowywał sytuacje swoim kolegom – wspomina dziennikarz sportowy, Wojciech Filipiak.

Robert Grzywocz zakończył karierę piłkarską ze względu na kontuzję, w późniejszych latach pracował w łódzkich zakładach Marchlewskiego. Z ŁKS-em był związany o wiele dłużej, zajmował się między innymi szkoleniem młodzieży, był też aktywnym kibicem.- Jeszcze jesienią widywaliśmy go na stadionie. Przychodził zawsze zw swoją żoną. Siadali zawsze na tych samych miejscach. Wiosną już go nie widywałem, dowiedziałem się, że jest ciężko chory. Dzisiaj przyszła ta wiadomość – dodaje Filipiak.

Piłkarz reprezentował także barwy m.in.Legii Warszawy czy Wawelu Kraków. Rozegrał także dwa spotkania w barwach reprezentacji Polski.